【基础解系怎么求出来的】在学习线性代数的过程中，求解齐次线性方程组的基础解系是一个重要的知识点。基础解系是齐次方程组所有解的集合中的一组极大无关组，它能够表示出该方程组的所有解。掌握如何求基础解系，对于理解线性方程组的结构和解的性质具有重要意义。
一、基础解系的定义
设齐次线性方程组为：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{0}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 是一个 $ n $ 维列向量。若 $ r(A) = r $，即矩阵 $ A $ 的秩为 $ r $，则该方程组的解空间的维数为 $ n - r $，因此存在 $ n - r $ 个线性无关的解向量，这些向量构成该方程组的一个基础解系。
二、求基础解系的步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将系数矩阵 $ A $ 写成增广矩阵形式（注意齐次方程组常数项为0） |
| 2 | 对矩阵 $ A $ 进行初等行变换，化为行最简形矩阵 |
| 3 | 确定主变量（即含有主元的变量）与自由变量（未被主元控制的变量） |
| 4 | 令自由变量取一组特殊值（如1, 0, 0…），依次求出对应的解向量 |
| 5 | 所有解向量构成的集合即为基础解系 |
三、举例说明
以如下齐次方程组为例：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 - x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
步骤1：写出系数矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}
$$
步骤2：行变换化简
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & -2 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤3：确定主变量与自由变量
- 主变量：$ x_1, x_2 $
- 自由变量：$ x_3 $
步骤4：令自由变量赋值
令 $ x_3 = t $，则：
- $ x_1 = -t $
- $ x_2 = 0 $
得到通解为：
$$
\mathbf{x} = t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
步骤5：基础解系
该方程组的基础解系为：
$$
\left\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}
$$
四、注意事项
- 基础解系中的向量必须是线性无关的；
- 不同的自由变量赋值方式可能会得到不同的基础解系，但它们都是等价的；
- 基础解系的个数等于方程组的解空间的维数，即 $ n - r $。
五、总结
求基础解系的过程可以归纳为“化简矩阵—确定主元—赋值求解—构造解系”。通过这个过程，我们可以系统地找到齐次线性方程组的所有解，并用一组线性无关的向量来表示整个解空间。掌握这一方法不仅有助于考试得分，更能加深对线性代数理论的理解。