【考研八个常见的泰勒公式】在考研数学中，泰勒公式是一个非常重要的知识点，尤其在极限、导数、积分以及函数展开等方面有着广泛的应用。掌握常见的泰勒展开式，能够帮助考生快速解决相关题目，提高解题效率。
以下是考研中常见的八个泰勒公式，以加表格的形式进行展示：
一、泰勒公式概述
泰勒公式是将一个函数在某一点附近用多项式近似表示的方法。其一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 是余项，表示误差部分。在实际应用中，通常取 $ a=0 $，即为麦克劳林公式。
二、常见泰勒展开式（麦克劳林展开）
| 函数 | 泰勒展开式（$ x=0 $） | 展开范围 | 说明 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | 指数函数的常用展开 | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | 奇函数，仅含奇次幂 | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | 偶函数，仅含偶次幂 | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ -1 < x \leq 1 $ | 对数函数的展开，收敛域有限 | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} + \cdots $ | $ | x | \leq 1 $ | 反三角函数，收敛域较窄 |
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ | x | \leq 1 $ | 复杂展开，常用于高等数学 |
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n + \cdots $ | $ | x | < 1 $ | 二项式展开，适用于任意实数 $ k $ |
| $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ | 高阶展开较为复杂，常用于小角度近似 |
三、使用技巧与注意事项
1. 选择合适的展开点：大多数情况下，使用 $ x=0 $ 的麦克劳林展开即可，但若题目涉及某个特定点，应考虑在该点展开。
2. 注意收敛区间：某些函数如 $ \ln(1+x) $、$ \arctan x $ 等有明确的收敛范围，需注意在什么范围内使用。
3. 结合极限与无穷小比较：泰勒展开常用于求极限和比较无穷小的阶数，熟练掌握这些公式可以简化计算。
4. 灵活运用高阶项：根据题目要求，有时只需保留前几项即可，无需全部展开。
四、总结
掌握这八个常见的泰勒公式，是考研数学复习中的关键一步。它们不仅在考试中频繁出现，而且是理解函数性质、进行数值计算的重要工具。建议考生在复习时多做相关练习，加深对公式的理解和应用能力。
通过表格的形式整理这些公式，有助于记忆和快速查阅，也能够在考场上迅速找到所需的展开式，提升答题效率。