【对勾函数是什么样的怎么求最值】对勾函数是一种常见的数学函数，因其图像形状类似于“对勾”符号（即两个反向的“∨”形），因此得名。它在高中数学和部分大学课程中都有涉及，尤其在求极值、单调性分析等方面应用广泛。
一、对勾函数的基本形式
对勾函数的标准形式为：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数，且 $ x \neq 0 $。
当 $ a > 0 $ 且 $ b > 0 $ 时，函数图像呈现“对勾”形状；若 $ a $ 或 $ b $ 为负数，则图像方向会发生变化。
二、对勾函数的图像特征
| 特征 | 描述 |
| 定义域 | $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| 奇偶性 | 若 $ a = 0 $，则为奇函数；否则一般不具有奇偶性 |
| 渐近线 | x=0 为垂直渐近线，y=ax 为斜渐近线 |
| 单调性 | 在区间 $ (-\infty, 0) $ 和 $ (0, +\infty) $ 上分别单调递增或递减 |
| 极值点 | 存在最小值或最大值（取决于参数） |
三、如何求对勾函数的最值
方法一：利用导数法
1. 求导：对函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ 求导：
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
2. 令导数为零，解方程：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
3. 判断极值类型：
- 若 $ a > 0 $，$ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 为最小值点；
- 若 $ a < 0 $，$ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 为最大值点。
4. 代入原函数计算最值：
$$
f_{\text{min}} = a \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
方法二：利用不等式法（均值不等式）
对于 $ a > 0 $，$ b > 0 $，根据均值不等式：
$$
ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $，即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取等号，此时取得最小值 $ 2\sqrt{ab} $。
四、总结表格
| 项目 | 内容 | ||
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | ||
| 定义域 | $ x \neq 0 $ | ||
| 图像形状 | 对勾形（类似“∨”与“∧”组合） | ||
| 最值情况 | 当 $ a > 0 $，存在最小值 $ 2\sqrt{ab} $；当 $ a < 0 $，存在最大值 $ -2\sqrt{ | ab | } $ |
| 求最值方法 | 导数法 / 均值不等式法 | ||
| 极值点 | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $（当 $ a > 0 $） |
通过以上分析可以看出，对勾函数虽然形式简单，但其性质丰富，是研究函数极值问题的重要工具。掌握它的图像特点和最值求法，有助于在实际问题中快速找到最优解。