【三角函数的公式有哪些】在数学学习中，三角函数是基础且重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式对于解题和理解相关知识具有重要意义。本文将对常见的三角函数公式进行总结，并以表格形式展示，帮助读者更清晰地理解和记忆。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $\sin\theta = \dfrac{a}{c}$ |
| 余弦（cos） | $\cos\theta = \dfrac{b}{c}$ |
| 正切（tan） | $\tan\theta = \dfrac{a}{b}$ |
| 余切（cot） | $\cot\theta = \dfrac{b}{a}$ |
| 正割（sec） | $\sec\theta = \dfrac{c}{b}$ |
| 余割（csc） | $\csc\theta = \dfrac{c}{a}$ |
二、三角恒等式
三角函数之间存在一些基本的恒等关系，用于简化计算或证明问题。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | $\sin\theta = \dfrac{1}{\csc\theta}$，$\cos\theta = \dfrac{1}{\sec\theta}$，$\tan\theta = \dfrac{1}{\cot\theta}$ |
| 商数关系 | $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ |
| 平方关系 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$，$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ |
三、诱导公式（角度转换）
这些公式适用于不同象限中的角度转换，常用于求值或化简。
| 角度变换 | 公式表达 |
| $\sin(-\theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(-\theta)$ | $\cos\theta$ |
| $\tan(-\theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin\theta$ |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\tan(\pi - \theta)$ | $-\tan\theta$ |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin\theta$ |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos\theta$ |
| $\tan(\pi + \theta)$ | $\tan\theta$ |
四、和差角公式
用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和差 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ |
| 余弦和差 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ |
| 正切和差 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ |
五、倍角与半角公式
用于计算角度的两倍或一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ |
| 余弦倍角 | $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角 | $\tan(2\theta) = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
| 正弦半角 | $\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| 余弦半角 | $\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| 正切半角 | $\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \dfrac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
六、积化和差与和差化积公式
用于将乘积形式的三角函数转化为和差形式，或反之。
| 公式名称 | 公式表达 |
| 积化和差（正弦） | $\sin\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ |
| 积化和差（余弦） | $\cos\alpha\cos\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ |
| 积化和差（正弦×正弦） | $\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ |
| 和差化积（正弦） | $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
| 和差化积（余弦） | $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
| 和差化积（正弦差） | $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
| 和差化积（余弦差） | $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\dfrac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha - \beta}{2}\right)$ |
总结
三角函数的公式种类繁多，涵盖基本定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角与半角、积化和差等多个方面。掌握这些公式不仅能提高解题效率，还能加深对三角函数本质的理解。建议结合图形记忆和实际应用，逐步熟练运用各种公式。