【向量垂直的公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是常见的问题之一。向量垂直的判定不仅在数学中具有重要意义，在物理、工程和计算机图形学等领域也有广泛应用。本文将总结向量垂直的基本公式，并以表格形式清晰展示其应用方式。
一、向量垂直的定义
两个向量 a 和 b 垂直，意味着它们之间的夹角为 90度（或 π/2 弧度）。在数学上，可以通过向量的点积来判断两向量是否垂直。
二、向量垂直的公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则：
- 点积公式：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
- 垂直条件：
若 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$，则向量 a 与 b 垂直。
三、常见情况下的向量垂直公式
| 向量维度 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 二维向量 | a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) | a₁b₁ + a₂b₂ | a₁b₁ + a₂b₂ = 0 |
| 三维向量 | a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃) | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0 |
| n维向量 | a = (a₁, a₂, ..., aₙ), b = (b₁, b₂, ..., bₙ) | ∑(a_i b_i) | ∑(a_i b_i) = 0 |
四、实际应用示例
例1：二维向量
已知向量 a = (3, 4)，b = (-4, 3)
计算点积：
$$
3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，a ⊥ b。
例2：三维向量
已知向量 a = (1, 2, 3)，b = (-2, 1, 0)
计算点积：
$$
1 \times (-2) + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0
$$
因此，a ⊥ b。
五、注意事项
- 向量的长度不影响垂直关系，只关心方向。
- 如果两个向量中有一个为零向量（即所有分量均为0），则它与任何向量都视为“垂直”。
- 在三维空间中，存在无数个与某向量垂直的向量，构成一个平面。
通过以上内容可以看出，向量垂直的判断主要依赖于点积运算，而点积为零是判断垂直的核心依据。掌握这一公式，有助于在多种数学和工程问题中快速判断向量之间的关系。