【向量垂直公式是什么】在数学中，向量是具有大小和方向的量，常用于几何、物理和工程等领域。当两个向量满足一定条件时，它们被称为“垂直”或“正交”。判断两个向量是否垂直，可以使用向量的点积（内积）公式。以下是对“向量垂直公式”的总结与解析。
一、向量垂直的定义
如果两个非零向量 a 和 b 的夹角为 90°，则称这两个向量互相垂直。在数学上，可以通过它们的点积来判断是否垂直。
二、向量垂直的判定公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，那么它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n
$$
若 a · b = 0，则说明两个向量垂直。
三、二维与三维空间中的具体公式
| 维度 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 二维 | a = (a₁, a₂) b = (b₁, b₂) | $ a_1b_1 + a_2b_2 $ | $ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 $ |
| 三维 | a = (a₁, a₂, a₃) b = (b₁, b₂, b₃) | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 $ |
四、应用举例
- 若 a = (2, 3)，b = (-3, 2)
则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times (-3) + 3 \times 2 = -6 + 6 = 0
$$
所以 a ⊥ b。
- 若 a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 0)
则：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \times 4 + 2 \times (-2) + 3 \times 0 = 4 - 4 + 0 = 0
$$
所以 a ⊥ b。
五、注意事项
- 零向量与任何向量都视为垂直。
- 向量垂直仅指方向上的关系，不涉及长度。
- 在实际应用中，如物理中的力分析、图形学中的法线计算等，向量垂直具有重要意义。
通过以上内容可以看出，“向量垂直公式”本质上就是通过点积是否为零来判断两个向量是否垂直。这一公式简单而实用，是向量运算中的基础内容之一。