问向量积的计算公式

【向量积的计算公式】在向量运算中，向量积（也称为叉积）是一种重要的数学工具，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个与原向量垂直的新向量，其方向由右手定则决定，大小则与两个向量的夹角有关。

向量积通常用于三维空间中的两个向量，记作 a × b，其结果是一个新的向量，表示为 c = a × b。该向量的方向垂直于 a 和 b 所构成的平面，其大小等于 absinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角。

下面是对向量积的基本公式及其应用的总结：

一、向量积的基本定义

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积 a × b 可以通过以下公式计算：

$$

a \times b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

二、向量积的性质

三、向量积的计算示例

假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则它们的向量积为：

$$

a \times b =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

\end{vmatrix}

= (2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}

$$

$$

= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}

= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

$$

因此，a × b = (-3, 6, -3)

四、向量积的应用场景

五、总结

向量积是三维空间中非常重要的运算，它不仅能够确定两个向量之间的垂直方向，还能通过模长反映它们的“夹角大小”。掌握向量积的计算方法和性质，有助于在多个科学与工程领域中进行更深入的分析和应用。